Kepler's Laws of planetary motion.

KEPLER'S LAW OF PLANETARY MOTION.

কেপলারের সূত্রাবলী

কেপলারের সূত্রাবলী

আলোচ্য বিষয়;- 

i)কেপলারের সূত্রাবলী

ii)কেপলারের দ্বিতীয় সূত্রের প্রতিষ্ঠা 

iii)কেপলারের তৃতীয় সূত্রের প্রমাণ 

1.কেপলারের সূত্রাবলী :-

 প্রথম সূত্র:- প্রতিটি গ্রহ উপবৃত্তাকার কক্ষপথে সূর্যকে প্রদক্ষিণ করে এবং সূর্য ওই উপবৃত্তের একটি   ফোকাসে থাকে ।

 দ্বিতীয় সূত্র:- সূর্য ও কোন গ্রহের সংযোজক সরলরেখাটি সমান সময় আকাশে সমান ক্ষেত্রফল অতিক্রম করে ।

তৃতীয় সূত্র:- সূর্যের চারিদিকে কোন গ্রহের প্রদক্ষিণকালের বর্গ সেটির কক্ষপথের অর্ধ পরাক্ষের ঘনফলের সমানুপাতিক। 

2.কেপলারের দ্বিতীয় সূত্রের প্রতিষ্ঠা

 মনে করি একটি গ্রহ সূর্যের চারিদিকে একটি উপবৃত্তাকার কক্ষপথে আবর্তন করছে ।ক্ষুদ্র \(dt\)

সময়ে গ্রহটি P বিন্দু থেকে Q বিন্দুতে পৌঁছায় ।সূর্য ও গ্রহের সংযোজক সরলরেখা ওই সময়ের অবকাশে  কোন উৎপন্ন করে। এক্ষেত্রে সূর্য ও গ্রহের মধ্যে গড় দূরত্ব r হলে \(PQ=rd\theta\)

  \(dt\)সময়ে উৎপন্ন ক্ষেত্রফল\(dA=\frac{1}{2}r.rd\theta\) 

ক্ষেত্রফল উৎপন্ন হওয়ার হার \(\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}r^2{\frac{d\theta}{dt}}=\frac{1}{2}r^2\omega\) [\(\because{v}=\omega{r}\)]

\(\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}rv\) [\(\because v=\omega{r}\)]

 

 গ্রহের কৌণিক ভরবেগ \(L=mvr\) 

\(vr=\frac{L}{m}\)

\(\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}\frac{L}{m}\)                                     

বাইর থেকে কোন টর্কপ্রযুক্ত হয় না। ফলে কৌণিক ভরবেগ L=  ধ্রুবক ।

 সুতরাং\(\frac{dA}{dt} \)=ধ্রুবক।

অর্থাৎ,সূর্যেও ও গ্রহের সংযোজক সরলরেখা সমান সময় অবকাশে সমান ক্ষেত্রফল উৎপন্ন করে।এটিই কেপলারের দ্বিতীয় সূত্র। 

3.কেপলারের তৃতীয় সূত্রের প্রমাণ 

সূর্যের চারিদিকে গ্রহগুলির কক্ষপথ বৃত্তাকার ধরে নিলে তৃতীয় সূত্রটি সহজে প্রমাণ করা যায়। মনে করি,সূর্যের ভর Mএবং                                                                                                                                                                                                                           

 m ভরের একটি গ্রহ সূর্যের চারিদিকে r ব্যাসার্ধের বৃত্ত পথে v দ্রুতিতে  আবর্তন করছে ।এক্ষেত্রে সূর্য ও গ্রহের মধ্যে ক্রিয়াশীল মহাকর্ষ বল বৃত্তপথে আবর্তনের জন্য প্রয়োজনীয় অভিকেন্দ্র বলের যোগান দেয়।

\(\frac{mv^2}{r} =\frac{GMm}{r^2}\)

\(v=\sqrt{\frac{GM}{r}}\)

গ্রহের আবর্তন কাল\(T=\frac{2\pi{r}}{v}=2\pi{r}\sqrt{\frac{r}{GM}}\)

=\(\frac{2\pi}{\sqrt{GM}}r^{\frac{3}{2}}\)

\(T^2=\frac{4{\pi}^2}{GM}r^3\)

\(T^2\propto{r^3}\) [\(\because \)G,M=Constant]

এটিই কেপলারের তৃতীয় সূত্রের গাণিতিক রূপ।

• Twitter
• Facebook
• Google
• Tumblr
• Pinterest